Transformasi Kecepatan Lorentz Untuk Menyelesaikan Permasalahan Relativistik

Kamu ($A$) sekarang di masa depan menjadi seorang polisi, mengejar maling menggunakan mobil yang bergerak mendatar dengan kecepatan $0.6c$ melewati seseorang ($C$) yang berdiri di pinggir jalan menyaksikan aksi kejar-kejaranmu. Karena maling tidak mau berhenti, kamu secara terpaksa keluar jendela dan menembakkan granat ($B$) searah dengan arah gerak mobil dengan kecepatan $0.7c$ relatif terhadapmu. Berapakah kecepatan granat ($B$) menurut pengamat di pinggir jalan ($C$)?

Dilihat dari kasus di atas, diketahui :

$v_{AC}$ = kecepatan mobil relatif terhadap pengamat $C$ = $0.6c$

$v_{BA}$ = kecepatan granat relatif terhadap mobil = $0.7c$

Ditanya :

$v_{BC}$ = kecepatan granat relatif terhadap pengamat $C$ = ?

Keliatan gampang, kalau kita pake relativitas Newton maka akan didapat persamaan sederhana :

$$v_{BC}=v_{BA}+v_{AC}$$

sehingga :

$$v_{BC}=0.7c+0.6c=1.3c$$

Eitts, tunggu dulu! Kata ilmuwan kan nggaboleh ada kecepatan yang melebihi kecepatan cahaya $c$? Betul, kelemahan dari relativitas Newton yaitu dia nggak ngasih kita batasan kecepatan, dan hanya berlaku buat objek yang bergerak jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya $c$. Sehingga kita harus menggunakan transformasi Lorentz buat nyelesaiin kasus spesial, sespesial kamu :*

(Fokus pada blog ini selanjutnya hanya akan menjabarkan penurunan dari fungsi posisi transformasi Lorentz agar mendapatkan persamaan transformasi kecepatan untuk menyelesaikan kasus di atas)

Oke lanjut. Kita tahu persamaan transformasi Lorentz pada posisi $x$ adalah sebagai berikut:

\begin{equation} \boxed{x=\gamma(x'+vt')} \end{equation}

dengan $\gamma$ = $\sqrt{\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ merupakan tetapan transformasi.

Sedangkan, persamaan waktu $t$ pada transformasi Lorentz adalah:

\begin{equation} \boxed{t = \gamma \left(t'+\cfrac{vx'}{c^2} \right)} \end{equation}

Atau, bentuk transformasi kebalikan dari masing masing fungsi $x$ dan $t$ adalah:

$\boxed{x'=\gamma(x-vt)}$

$\boxed{t' = \gamma \left(t-\cfrac{vx}{c^2} \right)}$

Kita disini pengen dapet persamaan transformasi kecepatan Lorentz. Ingat bahwa kecepatan merupakan turunan pertama dari fungsi posisi terhadap waktu, sehingga:

\begin{equation} u_x = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} \; \; \text{dan} \; \; u_x'=\frac{\text{d}x'}{\text{d}t'} \end{equation}

Turunin masing-masing fungsi $x$ dan $t$, maka didapat:

\begin{equation} u_x =  \cfrac{\text{d}x}{\text{d}t} = \cfrac{\gamma(\text{d}x'+v \: \text{d}t')}{\gamma \left(\text{d}t'+\cfrac{v \: \text{d}x'}{c^2} \right)} \end{equation}

Coret habis $\gamma$ serta kalikan pembilang dan penyebutnya dengan $\frac{1}{\text{d}t'}$

\begin{equation} u_x =\cfrac{\cfrac{\text{d}x}{\text{d}t'}}{\cfrac{\text{d}t}{\text{d}t'}} =\cfrac{\cfrac{\text{d}x'}{\text{d}t'}+\cfrac{v \: \text{d}t'}{\text{d}t'}}{\cfrac{\text{d}t'}{\text{d}t'}+\cfrac{v \: \text{d}x'}{c^2\text{d}t'}} \end{equation}

Sederhanain persamaan, jadi kita dapet persamaan transformasi kecepatannya:

\begin{equation} \boxed{u_x = \cfrac{u_x'+v}{1+\cfrac{vu_x'}{c^2}}} \end{equation}

Atau, bentuk transformasi kebalikannya adalah:

$\boxed{u_x' = \cfrac{u_x-v}{1-\cfrac{vu_x}{c^2}}}$

Setelah melalui perjalanan yang cukup panjang, akhirnya kita mendapatkan persamaan transformasi Lorentz untuk kecepatan!

Gass langsung kita aplikasiin pada kasus di paling atas tadi!

Dengan memakai transformasi Lorentz, didapat persamaan:

$$v_{BC}=\cfrac{v_{BA}+v_{AC}}{1+\cfrac{v_{BA}v_{AC}}{c^2}}$$

Dan jika kita hitung ulang pakai persamaan diatas, maka hasilnya akan menjadi seperti berikut:

$v_{BC}=\cfrac{0.7c+0.6c}{1+\cfrac{0.7c\times 0.6c}{c^2}}=0.92c$

Jadi, kecepatan granat relatif terhadap pengamat $C$ yang 'sebenarnya' adalah $0.92c$.

Yess, Akhirnya! Bisa dilihat kalau kita pakai persamaan transformasi Lorentz, nggak mungkin hasilnya bakalan jadi lebih dari kecepatan $c$. Jadi, jika ketemu sama kasus kecepatan relativistik kaya yang diatas tadi, kita harus pake persamaan Lorentz buat cari jawabannya. 

Ingat, relativitas Newton cuma bisa dipake kalau kecepatan objek jauh lebih kecil daripada kecepatan cahaya.

Sip, udah gini aja dulu, sebenernya masih banyak pengembangan dan 'sejarah' dari persamaan tadi. Kayak contohnya, asal mula dari transformasi Lorentz sebenernya berasal dari modifikasi transformasi Galileo, adanya konsep pemekaran waktu yang dikembangin dari transformasi Lorentz itu sendiri, dll. Mungkin kalian bisa cari itu lewat literatur lain atau kapan-kapan bakalan aku buat pembahasannya(kalo aku udah bener-bener paham ya, wkwk). semoga bermanfaat!

Sumber referensi :

Kanginan, Marthen. 2018. FISIKA 3 untuk SMA/MA Kelas XII. Jakarta: Penerbit Erlangga.

"Lorentz Velocity Transformation". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . 2016 . 2020 . http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Relativ/veltran.html